31. Διαίρεση ρητών αριθμών

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Διαίρεση ρητών αριθμών

1.1 Ορισμός του πηλίκου \(\alpha : \beta\) ως λύση της εξίσωσης \(\beta \cdot x = \alpha\)

Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες

  • Ορισμός: Ακριβές πηλίκο της διαίρεσης ενός αριθμού \(\alpha\) (διαιρετέος) με έναν φυσικό αριθμό \(\beta\) (διαιρέτης) είναι, όταν υπάρχει, ο αριθμός \(x\) που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον \(\beta\), δίνει ως γινόμενο τον \(\alpha\).

  • Λογική Ισοδυναμία: Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Ισχύει: \(\alpha : \beta = x \iff \beta \cdot x = \alpha\).

  • Ιδιότητες:

    1. Διαίρεση με τη μονάδα: \(\alpha : 1 = \alpha\). Κάθε αριθμός διαιρούμενος με το 1 δίνει τον εαυτό του.
    2. Διαίρεση με τον εαυτό του: \(\alpha : \alpha = 1\) (για \(\alpha \neq 0\)).
    3. Διαίρεση του μηδενός: \(0 : \beta = 0\) (για \(\beta \neq 0\)).
    4. Αδύνατη διαίρεση: Η διαίρεση με το μηδέν (\(\alpha : 0\)) δεν έχει νόημα και είναι αδύνατη.
    5. Αόριστη διαίρεση: Το πηλίκο \(0 : 0\) είναι αόριστο.

Παραδείγματα

  1. Ακέραιοι: \((-72) : (+9) = -8\) γιατί \((+9) \cdot (-8) = -72\).
  2. Κλάσματα: \(\dfrac{5}{3} : \dfrac{5}{3} = 1\) γιατί \(\dfrac{5}{3} \cdot 1 = \dfrac{5}{3}\).
  3. Δεκαδικοί: \(3,5 : 0,7 = 5\) γιατί \(0,7 \cdot 5 = 3,5\).
  4. Μηδέν: \(0 : 18 = 0\) γιατί \(18 \cdot 0 = 0\).
  5. Εξίσωση: Αν \(3 \cdot x = 48\), τότε \(x = 48 : 3 = 16\).

Ασκήσεις

  1. Βρείτε το \(x\) αν \(5 \cdot x = 75\).
  2. Λύστε την εξίσωση \(7 \cdot x = 63\).
  3. Συμπληρώστε την ισότητα \(88 = 4 \cdot \dots + 0\).
  4. Ποιος αριθμός \(x\) επαληθεύει την \(x : 7 = 6\);.
  5. Βρείτε το πηλίκο \(36 : x = 3\).
  6. Αν \(x \cdot 32 = 864\), είναι ο 27 η λύση;.
  7. Υπολογίστε το \(x\) στην \(135 = 5 \cdot x\).
  8. Συμπληρώστε: \(17 : 17 = \dots\).
  9. Λύστε την εξίσωση \(102 = 8 \cdot x + 6\).
  10. Ποιο είναι το ακριβές πηλίκο \(15 : 17\);.
  11. Βρείτε την τιμή του \(\alpha\) αν \(\frac{\alpha}{1} = 8\).
  12. Ποιος αριθμός διαιρούμενος με το 12 δίνει πηλίκο 8 και υπόλοιπο 11;.
  13. Συμπληρώστε την ισοδυναμία: \(180 = 12 \cdot 15 \iff \dots\).
  14. Είναι αληθές ότι αν \(\alpha = \beta\), τότε \(\alpha : \mu = \beta : \mu\);.
  15. Γιατί η πράξη \(2 : 0\) είναι αδύνατη;.

1.2 Εύρεση πηλίκου δύο ρητών αριθμών (Ομόσημοι - Ετερόσημοι)

Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες

Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε:

το πρόσημο +, αν είναι ομόσημοι. Δηλαδή: \(+ : + = +\) και \(- : - = +\) \[(+12):(+4)=+3 \ \ \ \ \ και \ \ \ \ \ (-16):(-4)=+4\] το πρόσημο -, αν είναι ετερόσημοι. Δηλαδή: \(+ : - = -\) και \(- : + = -\) \[(+18):(-6)=-3 \ \ \ \ \ και \ \ \ \ \ \ (-30):(+5)=-6\]

Παραδείγματα

  1. Ομόσημοι Ακέραιοι: \((-15) : (-3) = +5\).
  2. Ετερόσημοι Ακέραιοι: \((+20) : (-4) = -5\).
  3. Κλάσματα: \(\dfrac{3}{5} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{12}{35}\).
  4. Δεκαδικοί: \(4,225 : 1,3 = 42,25 : 13 = 3,25\).
  5. Μικτοί: \(12 \dfrac{1}{2} : (-3) = \dfrac{25}{2} : (-3) = -\dfrac{25}{6} = -8 \dfrac{1}{6}\).

Ασκήσεις

  1. \((-12) : (-4) = \dots\)
  2. \((+18) : (-3) = \dots\)
  3. \(\dfrac{4}{9} : \dfrac{5}{3} = \dots\).
  4. \((-0,5) : (+0,2) = \dots\)
  5. \(182,28 : 2,17 = \dots\).
  6. \((-15) : (-0,3) = \dots\)
  7. \(\dfrac{11}{13} : \left(-\dfrac{21}{26}\right) = \dots\).
  8. \(-0,1288 : 4,6 = \dots\).
  9. \((-24) : \dfrac{5}{6} = \dots\)
  10. \(89,79 : (-12,3) = \dots\).
  11. \(\dfrac{\alpha}{\beta} : \dfrac{\gamma}{\delta} = \dots\).
  12. \((-3,55718) : 936,1 = \dots\).
  13. \(\dfrac{2}{3} : \dfrac{3}{2} = \dots\)
  14. \((+14,1154) : (-7,93) = \dots\).
  15. \(66,987 : 0,81 = \dots\).

1.3 Γινόμενο και πηλίκο δύο ρητών (Σύγκριση προσήμων)

Θεωρία και Ιδιότητες

  • Ταυτότητα Προσήμων: Το γινόμενο και το πηλίκο των ίδιων δύο ρητών αριθμών έχουν πάντοτε το ίδιο πρόσημο .

  • Αντίστροφοι Αριθμοί: Δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι 1. Ο αντίστροφος του \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) είναι ο \(\dfrac{\beta}{\alpha}\).

  • Πρόσημο Αντιστρόφου: Ένας αριθμός και ο αντίστροφός του είναι πάντα ομόσημοι.

Παραδείγματα

  1. \((-6) \cdot (-2) = +12\) και \((-6) : (-2) = +3\) (Ομόσημοι \(\to\) Θετικό).
  2. \((+10) \cdot (-2) = -20\) και \((+10) : (-2) = -5\) (Ετερόσημοι \(\to\) Αρνητικό).
  3. Ο αντίστροφος του \(-\frac{3}{4}\) είναι ο \(-\frac{4}{3}\) (Και οι δύο αρνητικοί).
  4. \(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{3} = 1\).
  5. \((-0,5) \cdot (-2) = 1\).

Ασκήσεις

  1. Προσδιορίστε το πρόσημο του \((-8) : (+2)\) και του \((-8) \cdot (+2)\).
  2. Αν \(\alpha \cdot \beta > 0\), τι γνωρίζετε για το πρόσημο του \(\alpha : \beta\);
  3. Βρείτε τον αντίστροφο του \(-5\).
  4. Είναι ο αντίστροφος του \(-\dfrac{2}{3}\) θετικός ή αρνητικός;.
  5. Υπολογίστε το \((-\dfrac{1}{2}) : (-2)\) και συγκρίνετε το πρόσημο με το \((-\dfrac{1}{2}) \cdot (-2)\).
  6. Ποιος αριθμός δεν έχει αντίστροφο;.
  7. Αν \(\alpha \cdot \beta = 1\), τι είναι οι \(\alpha, \beta\) μεταξύ τους;.
  8. Βρείτε τον αντίστροφο του \(0,3\).
  9. Ποιο είναι το γινόμενο \(\dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{\beta}{\alpha}\);.
  10. Αν το πηλίκο δύο αριθμών είναι αρνητικό, τι είναι οι αριθμοί;
  11. Βρείτε τον αντίστροφο του \(2 \dfrac{3}{4}\).
  12. Υπολογίστε το \((-1) : (-1)\) και \((-1) \cdot (-1)\).
  13. Ποιο είναι το πρόσημο του αντιστρόφου του \(4,08\);.
  14. Αν \(\alpha \cdot \beta < 0\), μπορεί το \(\alpha : \beta\) να είναι θετικό;
  15. Βρείτε τον αντίστροφο του \(\dfrac{x^2}{y}\).

1.4 Το πηλίκο ως λόγος

Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες

  • Ορισμός Λόγου: Λόγος του αριθμού \(\alpha\) προς τον αριθμό \(\beta\) ονομάζεται το πηλίκο της διαίρεσής τους και συμβολίζεται \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) ή \(\alpha : \beta\).

  • Ανάγνωση: Διαβάζεται ως «\(\alpha\) προς \(\beta\)».

  • Γεωμετρική Ερμηνεία: Ο λόγος δύο ομοειδών μεγεθών (π.χ. τμημάτων) είναι ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές το δεύτερο μέγεθος περιέχεται στο πρώτο.

Παραδείγματα

  1. Λόγος Αριθμών: Ο λόγος του 5 προς το 8 είναι \(5 : 8 = 0,625\).
  2. Αντίστροφος Λόγος: Ο λόγος του 8 προς το 5 είναι \(8 : 5 = 1,6\).
  3. Τμήματα: Αν \(AB = 4\mu\) και \(\Gamma\Delta = 3\mu\), τότε \(AB : \Gamma\Delta = 4/3\).
  4. Διαστάσεις: Σε δωμάτιο \(8m \times 5m\), ο λόγος μήκους προς πλάτος είναι \(8/5\).
  5. Ηλικίες: Αν ο πατέρας είναι 60 και ο γιος 20, ο λόγος είναι \(60:20 = 3\).

Ασκήσεις

  1. Βρείτε τον λόγο του \(0,63\) προς \(8,1\).
  2. Ποιος είναι ο λόγος του \(2^3\) προς \(3^2\);.
  3. Σε οικογένεια με πατέρα 60 και μητέρα 48, βρείτε τον λόγο Π:Μ.
  4. Αν \(AB=6cm\) και \(B\Gamma=4cm\), βρείτε τον λόγο \(AB:B\Gamma\).
  5. Απλοποιήστε τον λόγο \(\dfrac{8,4}{0,70}\).
  6. Βρείτε τον λόγο του \(3 \cdot 10^3\) προς \(1,5 \cdot 10^2\).
  7. Αν \(AB = 3\Gamma\Delta\), ποιος είναι ο λόγος \(AB:\Gamma\Delta\);.
  8. Απλοποιήστε τον λόγο \(\dfrac{2/3}{4/5}\).
  9. Βρείτε τον λόγο \(0,25\) προς \(0,36\).
  10. Ποιος είναι ο λόγος της γωνίας \(12'\) προς τη γωνία \(72'\);.
  11. Βρείτε τον λόγο του \(\dfrac{2}{3}\) προς \(\dfrac{4}{5}\).
  12. Αν ένα τμήμα είναι \(0,54m\) και ένα άλλο \(70cm\), βρείτε τον λόγο τους.
  13. Ποιος είναι ο λόγος \(\dfrac{3 \cdot 4 - 2}{5 \cdot 2}\);.
  14. Βρείτε τον λόγο των πλευρών τετραγώνου με πλευρά \(\alpha\).
  15. Ποιος είναι ο λόγος του \(x\) προς το \(y\) αν \(3x=y\);

1.5 20 Σύνθετες Ασκήσεις (Συνδυασμός 4 πράξεων με παρενθέσεις)

  1. \([(276 - 84) : 12] \cdot 25 - 95\)
  2. \([(38 \cdot 11 - 124) : 14] \cdot 20 - 400\)
  3. \([(306 : 6) + 14] \cdot 7 + 545\)
  4. \(([(88 + 53) - 98] \cdot 11 - 288) : 5\)
  5. \(4 \cdot (-2) \cdot (-3) - [5 \cdot (3 + 2)-2 + 8-3 : (2+1)-3]\)
  6. \(3 \cdot (4 + 5 - 9) + 4 \cdot (10 - 2 - 8) + 3 \cdot (17 + 13 - 22 - 8)\)
  7. \((120 - 17 - 50) - 57\)
  8. \((2 + 3) - [8 + (20 - 4)]\)
  9. \(\{ [(-30 + 18) - 7 ] - 3 \}\)
  10. \(5 \cdot [7 + 2 \cdot (3 - 1)]\)
  11. \(100 - (5 \cdot 10 + 2 \cdot 3)\)
  12. \([(15 - 5) \cdot (10 - 8)] : 4\)
  13. \(2 \cdot (11 + 4 \cdot 3) - 10\)
  14. \(4 \cdot (12 + 4 - 7) + 23 - 2 \cdot (27 - 8 + 3)\)
  15. \(8 \cdot (6 - 5) + 4\)
  16. \((-5,62)+2 - (-0,024)-3\)
  17. \(0,35 : (-0,7)\)
  18. \(-4,5 : 2,25=\dots\)
  19. \(A = 12 : (-3) - [ 5 - 2 \cdot ( 4 - 7 ) ]\)
  20. \(B = -2,5 \cdot [ -4,2 - ( 1,2 + 0,8 ) : (-0,5) ]\)
  21. \(\Gamma = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} : \left[ \dfrac{1}{3} \cdot ( 2 - 5 ) + \dfrac{1}{6} \right]\)
  22. \(\Delta = -4 + \{ -8 : [ 2 - ( -5 - 3 ) \cdot 3 ] - 1 \}\)
  23. \(E = 10,5 : ( -0,5 ) - [ -3 \cdot ( 1,2 - 2,2 ) + 4 ]\)
  24. \(Z = \dfrac{2}{3} : \left\{ \dfrac{1}{2} - \left[ \dfrac{3}{4} \cdot ( 2 - 6 ) : 3 \right] \right\}\)
  25. \(H = -5 \cdot [ 2 - ( -4,5 + 0,5 ) : 2 ] + 3,2\)
  26. \(\Theta = \{ 12 : ( 6 - 8 ) - [ 3 \cdot ( -2 + 4 ) ] \} : (-3)\)
  27. \(I = \dfrac{5}{6} - \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{3} \right) - \dfrac{1}{4} \right]\)
  28. \(K = -2,4 : \{ 1,2 - [ 0,5 \cdot ( 4 - 8 ) ] \}\)
  29. \(\Lambda = 15 - [ 3 \cdot ( 2 - 5 ) : (-1) + 4 ]\)
  30. \(M = \left\{ \dfrac{1}{2} : \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} \right) + 2 \right\} \cdot \left( - \dfrac{2}{3} \right)\)
  31. \(N = 4,5 - 2 \cdot [ 1,2 : ( 0,6 - 1,2 ) + 3 ]\)
  32. \(\Xi = - \dfrac{3}{8} : \left[ \dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} \right) \cdot 2 \right]\)
  33. \(O = [ 10 - 2 \cdot ( 5 - 8 ) ] : ( -4 ) + 1,5\)
  34. \(\Pi = \{ 0,8 : ( -0,2 ) - [ 3 \cdot ( 1,5 - 2,5 ) ] \} \cdot 2\)
  35. \(P = \dfrac{7}{2} - \left\{ \dfrac{1}{3} : \left[ \dfrac{1}{2} - \left( \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} \right) \right] \right\}\)
  36. \(\Sigma = 12 : [ -3 \cdot ( 1,5 + 0,5 ) - ( -2 ) ]\)
  37. \(T = - \dfrac{1}{5} \cdot \left[ \dfrac{2}{3} : \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} \right) + 1 \right]\)
  38. \(Y = 5,5 - \{ 2,5 \cdot [ 4 - ( 1,2 : 0,3 ) ] \} : 0,5\)
  39. \((-1) \cdot (-20) \cdot \left(+\dfrac{2}{3}\right) \cdot (-3) \cdot (-0,25)\).
  40. \(\left(-\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{15}\right) : \left(\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{2}\right)\).
  41. \(15 : (-2) - \dfrac{5}{6} : \left(-\dfrac{15}{6}\right) + \dfrac{12}{5} : \left(-\dfrac{2}{-9}\right)\).
  42. \(\left[\left(-\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{25}\right) - \left(-\dfrac{8}{3} : \dfrac{5}{4}\right)\right] : \left(-\dfrac{3}{2}\right)\).
Συμβουλή